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Lyapunov稳定性分析
4.1 概述
线性定常系统的稳定性分析方法很多.然而,对于非线性系统和线性时变系统,这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难,甚至不可能.Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法.
一百多年以前(1892年),伟大的俄国数学力学家亚历山大· 米哈依诺维奇·李亚普诺夫(A.M.Lyapunov) (1857-1918),以其天才条件和精心研究,创造性地发表了其博士论文"运动稳定性的一般问题",给出了稳定性概念的严格数学定义,并提出了解决稳定性问题的方法,从而奠定了现代稳定性理论的基础.
在这一历史性著作中,Lyapunov研究了平衡状态及其稳定性,运动及其稳定性,扰动方程的稳定性,得到了系统的给定运动(包括平衡状态)的稳定性,等价于给定运动(包括平衡状态)的扰动方程之原点(或零解)的稳定性.
在上述基础上,Lyapunov提出了两类解决稳定性问题的方法,即Lyapunov第一法和Lyapunov第二法.
第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性,即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性;
第二法则是一种定性方法,它无需求解困难的非线性微分方程,而转而构造一个Lyapunov函数,研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定,来得到稳定性的结论.这一方法在学术界广泛应用,影响极其深远.一般我们所说的Lyapunov方法就是指Lyapunov第二法.
虽然在非线性系统的稳定性分析中,Lyapunov稳定性理论具有基础性的地位,但在具体确定许多非线性系统的稳定性时,却并不是直截了当的.技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要.在本章中,对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况.
本章4.1节为概述.4.2节介绍Lyapunov意义下的稳定性定义.4.3节给出Lyapunov稳定性定理,并将其应用于非线性系统的稳定性分析.4.4节讨论线性定常系统的Lyapunov稳定性分析.
4.2 Lyapunov意义下的稳定性问题
对于一个给定的控制系统,稳定性分析通常是最重要的.如果系统是线性定常的,那么有许多稳定性判据,如Routh-Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用.然而,如果系统是非线性的,或是线性时变的,则上述稳定性判据就将不再适用.
本节所要介绍的Lyapunov第二法(也称Lyapunov直接法)是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法.当然,这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析.此外,它还可应用于线性二次型最优控制等许多问题.
4.2.1 平衡状态,给定运动与扰动方程之原点
考虑如下非线性系统
(4.1)
式中为维状态向量,是变量,,…,和t的n维向量函数.假设在给定初始条件下,式(4.1)有唯一解,且当时,.于是
在式(4.1)的系统中,总存在
, 对所有t (4.2)
则称为系统的平衡状态或平衡点.如果系统是线性定常的,也就是说,则当A为非奇异矩阵时,系统存在一个唯一的平衡状态;当A为奇异矩阵时,系统将存在无穷多个平衡状态.对于非线性系统,则有一个或多个平衡状态,这些状态对应于系统的常值解(对所有t,总存在).平衡状态的确定不包括式(4.1)的系统微分方程的解,只涉及式(4.2)的解.
任意一个孤立的平衡状态(即彼此孤立的平衡状态)或给定运动都可通过坐标变换,统一化为扰动方程之坐标原点,即或.在本章中,除非特别申明,我们将仅讨论扰动方程关于原点处之平衡状态的稳定性问题.这种所谓"原点稳定性问题",由于使问题得到极大简化,又不会丧失一般性,从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础,这是Lyapunov的一个重要贡献.
4.2.2 Lyapunov意义下的稳定性定义
下面首先给出Lyapunov意义下的稳定性定义,然后回顾某些必要的数学基础,以便在下一小节具体给出Lyapunov稳定性定理.
定义4.1 设系统
,
之平衡状态的H邻域为
其中,,为向量的2范数或欧几里德范数,即
类似地,也可以相应定义球域S(()和S(().
在H邻域内,若对于任意给定的,均有
(1) 如果对应于每一个,存在一个,使得当t趋于无穷时,始于S(()的轨迹不脱离S((),则式(4.1)系统之平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳定的.一般地,实数(与(有关,通常也与t0有关.如果 ( 与t0无关,则称此时之平衡状态为一致稳定的平衡状态.
以上定义意味着:首先选择一个球域S((),对应于每一个S((),必存在一个球域S((),使得当t趋于无穷时,始于S(()的轨迹总不脱离球域S(().
(2) 如果平衡状态,在Lyapunov意义下是稳定的,并且始于域S(()的任一条轨迹,当时间t 趋于无穷时,都不脱离S((),且收敛于,则称式(4.1)系统之平衡状态为渐近稳定的,其中球域S(()被称为平衡状态的吸引域.
类似地,如果( 与t0无关,则称此时之平衡状态为一致渐近稳定的.
实际上,渐近稳定性比Lyapunov意义下的稳定性更重要.考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念,所以简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作.通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域.它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态空间.换句话说,发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的.
(3) 对所有的状态(状态空间中的所有点),如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性,则平衡状态称为大范围渐近稳定.或者说,如果式(4.1)系统之平衡状态渐近稳定的吸引域为整个状态空间,则称此时系统的平衡状态为大范围渐近稳定的.显然,大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态.
在控制工程问题中,总希望系统具有大范围渐近稳定的特性.如果平衡状态不是大范围渐近稳定的,那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域,这通常非常困难.然而,对所有的实际问题,如能确定一个足够大的渐近稳定的吸引域,以致扰动不会超过它就可以了.
(4) 如果对于某个实数(>0和任一个实数( >0,不管这两个实数多么小,在S(()内总存在一个状态,使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开S((),那么平衡状态称为不稳定的.
图4.1(a),(b)和(c)分别表示平衡状态及对应于稳定性,渐近稳定性和不稳定性的典型轨迹.在图4.1(a),(b)和(c)中,球域S(()制约着初始状态,而球域S(()是起始于的轨迹的边界.
注意,由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域,因而除非S(()对应于整个状态平面,否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域.
此外,在图4.1(c)中,轨迹离开了S((),这说明平衡状态是不稳定的.然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处,这是因为轨迹还可能趋于在S(()外的某个极限环(如果线性定常系统是不稳定的,则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹将趋于无穷远.但在非线性系统中,这一结论并不一定正确).
图4.1 (a)稳定平衡状态及一条典型轨迹;(b)渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹;(c)不稳定平衡状态及一条典型轨迹
上述各定义的内容,对于理解本章介绍的线性和非线性系统的稳定性分析,是最低限度的要求.注意,这些定义不是确定平衡状态稳定性概念的唯一方法.实际上,在其它文献中还有另外的定义.
对于线性系统,渐近稳定等价于大范围渐近稳定.但对于非线性系统,一般只考虑吸引区为有限范围的渐近稳定.
最后指出,在经典控制理论中,我们已经学过稳定性概念,它与Lyapunov意义下的稳定性概念是有一定的区别的.例如,在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为是稳定的系统,而仅在Lyapunov意义下是稳定的,但却不是渐近稳定的系统,则被称之为不稳定系统.两者的区别与联系如下表所示
表4.1 线性系统稳定性概念与Lyapunov意义下的稳定性概念
经典控制理论(线性系统)
不稳定 (Re(s)>0)
临界情况 (Re(s)=0)
稳定 (Re(s)<0)
Lyapunov意义下
不稳定
稳定
渐近稳定
4.2.3 预备知识
1,纯量函数的正定性
如果对所有在域(中的非零状态,有,且在处有,则在域((域(包含状态空间的原点)内的纯量函数称为正定函数.
如果时变函数由一个定常的正定函数作为下限,即存在一个正定函数,使得
, 对所有
, 对所有
则称时变函数在域(((包含状态空间原点)内是正定的.
2,纯量函数的负定性
如果 -是正定函数,则纯量函数称为负定函数.
3,纯量函数的正半定形
如果纯量函数除了原点以及某些状态等于零外,在域(内的所有状态都是正定的,则称为正半定纯量函数.
4,纯量函数的负半定性
如果 -是正半定函数,则纯量函数称为负半定函数.
5,纯量函数的不定性
如果在域(内,不论域(多么小,既可为正值,也可为负值时,则纯量函数称为不定的纯量函数.
----------------------------------------------
[例4.1] 本例给出按照以上分类的几种纯量函数,这里假设x为二维向量.
1, 正定的
2, 正半定的
3, 负定的
4, 不定的
5, 正定的
----------------------------------------------
6,二次型
建立在Lyapunov第二法基础上的稳定性分析中,有一类纯量函数起着很重要的作用,即二次型函数.例如,
注意,这里的为实向量,为实对称矩阵.
7,复二次型或Hermite型
如果是维复向量,为Hermite矩阵,则该复二次型函数称为Hermite型函数.例如
在基于状态空间的稳定性分析中,经常使用Hermite型,而不使用二次型,这是因为Hermite型比二次型更具一般性(对于实向量x和实对称矩阵P,Hermite型等于二次型).
二次型或者Hermite型的正定性可用赛尔维斯特准则判断.该准则指出,二次型或Hermite型为正定的充要条件是矩阵P的所有主子行列式均为正值,即
注意,是的复共轭.对于二次型,.
如果P是奇异矩阵,且它的所有主子行列式均非负,则是正半定的.
如果 -是正定的,则是负定的.同样,如果 -是正半定的,则是负半定的.
----------------------------------------------
[例4.2] 试证明下列二次型是正定的.
[解] 二次型可写为
利用赛尔维斯特准则,可得
因为矩阵P的所有主子行列式均为正值,所以是正定的.
--------------------------------------------
4.3 Lyapunov稳定性理论
1892年,A.M.Lyapunov提出了两种方法(称为第一法和第二法),用于确定由常微分方程描述的动力学系统的稳定性.
第一法包括了利用微分方程显式解进行系统分析的所有步骤,也称为间接法.
第二法不需求出微分方程的解,也就是说,采用Lyapunov第二法,可以在不求出状态方程解的条件下,确定系统的稳定性.由于求解非线性系统和线性时变系统的状态方程通常十分困难,因此这种方法显示出极大的优越性.第二法也称为直接法.
尽管采用Lyapunov第二法分析非线性系统的稳定性时,需要相当的经验和技巧,然而当其它方法无效时,这种方法却能解决非线性系统的稳定性问题.
4.3.1 Lyapunov第一法
基本思路是:首先将非线性系统线性化,然后计算线性化方程的特征值,最后根据线性化方程的特征值判定原非线性系统的稳定性.
设非线性系统的状态方程为
,
或写成
将非线性函数在平衡状态处附近展成Taylor级数,则有
式中为常数,为一次项系数,且为所有高次项之和.
由于,故线性化方程为
其中
为Jacobian矩阵.
线性化方程(忽略高阶小量),是一种十分重要且广泛使用的近似分析方法.这是因为,在工程技术中,很多系统实质上都是非线性的,而非线性系统求解十分困难,所以经常使用线性化系统近似它.
然而这样做是否正确 我们知道,线性(化)系统与非线性系统具有根本的区别,如非线性系统才会出现自振,突变,自组织,混沌等,因此一般说来,关于线性化系统的解和有关结论是不能随意推广到原来的非线性的.现在我们把问题的范围缩小,只考虑的稳定性问题,并提出在什么条件下,可用线性化系统代替原非线性系统 Lyapunov证明了三个定理,给出了明确的结论.应该指出,这些定理为线性化方法奠定了理论基础,从而具有重要的理论与实际意义.
定理4.1 (Lyapunov) 如果线性化系统的系统矩阵A的所有特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡状态总是渐近稳定的,而且系统的稳定性与高阶导数项无关.
定理4.2 (Lyapunov) 如果线性化系统的系统矩阵A的特征值中,至少有一个具有正实部,则不论高阶导数项的情况如何,原非线性系统的平衡状态总是不稳定的.
定理4.3 (Lyapunov) 如果线性化系统的系统矩阵A有实部为零的特征值,而其余特征值实部均为负,则在此临界情况下,原非线性系统平衡状态的稳定性决定于高阶导数项,即可能不稳定,也可能稳定.此时不能再用线性化方程来表征原非线性系统的稳定性了.
上述三个定理也称为Lyapunov第一近似定理.这些定理为"线性化"提供了重要的理论基础,即对任一非线性系统,若其线性化系统关于平衡状态渐近稳定或不稳定,则原非线性系统也有同样的结论.但对临界情况,则必需考虑高阶导数项.
4.3.2 Lyapunov第二法
由力学经典理论可知,对于一个振动系统,当系统总能量(正定函数)连续减小(这意味着总能量对时间的导数为负定),直到平衡状态时为止,则此振动系统是稳定的.
Lyapunov第二法是建立在更为普遍意义的基础上的,即如果系统有一个渐近稳定的平衡状态,则当其运动到平衡状态的吸引域内时,系统存储的能量随着时间的增长而衰减,直到在平稳状态达到极小值为止.然而对于一些纯数学系统,毕竟还没有一个定义"能量函数"的简便方法.为了克服这个困难,Lyapunov定义了一个虚构的能量函数,称为Lyapunov函数.当然,这个函数无疑比能量更为一般,且其应用也更广泛.实际上,任一纯量函数只要满足Lyapunov稳定性定理(见定理4.4和4.5)的假设条件,都可作为Lyapunov函数(其构造可能十分困难).
Lyapunov函数与和t有关,我们用或者来表示Lyapunov函数.如果在Lyapunov函数中不含t,则用或表示.在Lyapunov第二法中,和其对时间的全导数的符号特征,提供了判断平衡状态处的稳定性,渐近稳定性或不稳定性的准则.这种间接方法不必直接求出给定非线性状态方程的解.
1,关于渐近稳定性
可以证明:如果为维向量,且其纯量函数正定,则满足
的状态处于维状态空间的封闭超曲面上,且至少处于原点附近,这里C为正常数.此时,随着,上述封闭曲面可扩展为整个状态空间.如果,则超曲面完全处于超曲面的内部.
对于给定的系统,若可求得正定的纯量函数,并使其沿轨迹对时间的全导数总为负定,则随着时间的增加,将取越来越小的C值.随着时间的进一步增长,最终变为零,而也趋于零.这意味着,状态空间的原点是渐近稳定的.Lyapunov主稳定性定理就是前述事实的普遍化,它给出了渐近稳定的充分条件.
定理4.4 (Lyapunov, 皮尔希德斯基,巴巴辛,克拉索夫斯基) 考虑如下非线性系统
式中
, 对所有
如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数,且满足以下条件:
1,正定;
2,负定
则在原点处的平衡状态是(一致)渐近稳定的.
进b一步地,若,(径向无穷大),则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的.
-----------------------------------------------
[例4.3] 考虑如下非线性系统
显然原点(,)是唯一的平衡状态.试确定其稳定性.
[解] 如果定义一个正定纯量函数
是负定的,这说明沿任一轨迹连续地减小,因此是一个Lyapunov函数.由于随着而变为无穷,则由定理4.4,该系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的.
注意,如使取一系列的常值(),则对应于状态平面的原点,而,,…,描述了包围状态平面原点的互不相交的一簇圆,如图4.2所示.还应注意,由于是径向无穷大的,即随着,,所以这一簇圆可扩展到整个状态平面.
由于圆完全处在的内部,所以典型轨迹从外向里穿过各V圆.从而Lyapunov函数的几何意义之一,可解释为状态x到状态空间原点之间距离的一种度量.如果原点与瞬时状态x(t)之间的距离随t的增加而连续地减小,即,则.
图4.2 常数V圆和典型轨迹
----------------------------------------------
定理4.4是Lyapunov第二法的基本定理,下面对这一重要定理作如下几点说明.
(1) 这里仅给出了充分条件,也就是说,如果我们构造出了Lyapunov函数,那么系统是渐近稳定的.但如果我们找不到这样的Lyapunov函数,我们并不能给出任何结论,例如我们不能据此说该系统是不稳定的.
(2) 对于渐近稳定的平衡状态,则Lyapunov函数必存在.
(3) 对于非线性系统,通过构造某个具体的Lyapunov函数,可以证明系统在某个稳定域内是渐近稳定的,但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的.对于线性系统,如果存在渐近稳定的平衡状态,则它必定是大范围渐近稳定的.
(4) 我们这里给出的稳定性定理,既适合于线性系统,非线性系统,也适合于定常系统,时变系统,具有极其一般的普遍意义.
显然,定理4.4仍有一些限制条件,比如必须是负定函数.如果在上附加一个限制条件,即除了原点以外,沿任一轨迹均不恒等于零,则要求负定的条件可用取负半定的条件来代替.
定理 4.5 (克拉索夫斯基,巴巴辛) 考虑如下非线性系统
式中
, 对所有
若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数,且满足以下条件:
1,是正定的;
2,是负半定的;
3,对于任意和任意,在时,不恒等于零,这里,表示在时从出发的轨迹或解
4.当时有
则在系统原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的.
注意,若不是负定的,而只是负半定的,则典型点的轨迹可能与某个特定曲面= C相切,然而由于对任意和任意,在时不恒等于零,所以典型点就不可能保持在切点处(在这点上,=0),因而必然要运动到原点.
例4.4 给定连续时间的定常系统
判定其稳定性.
解:系统的平衡状态为.现取
且有:
(i) 为正定;
(ii)
可以看出,除以下情况
(a)任意,
(b) 任意,
时 以外,均有.为半负定.
(iii)检查是否.考察(a):
是否为系统的扰动解,由于可导出,将此代入系统的方程得到
这表明,除点()外,不是系统的扰动解.
考察情况(b): ,则可导出 将此代入系统方程
矛盾,不是系统的扰动解.
(iV)当,显然有
综上,系统在原点平衡状态大范围渐近稳定.
2,关于稳定性
然而,如果存在一个正定的纯量函数,使得始终为零,则系统可以保持在一个极限环上.在这种情况下,原点处的平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳定的.
3,关于不稳定性
如果系统平衡状态是不稳定的,则存在纯量函数,可用其确定平衡状态的不稳定性.下面介绍不稳定性定理.
定理4.6 (Lyapunov) 考虑如下非线性系统
式中
, 对所有
若存在一个纯量函数,具有连续的一阶偏导数,且满足下列条件:
1,在原点附近的某一邻域内是正定的;
2,在同样的邻域内是正定的
则原点处的平衡状态是不稳定的.
4.3.3 线性系统的稳定性与非线性系统的稳定性比较
在线性定常系统中,若平衡状态是局部渐近稳定的,则它是大范围渐近稳定的.然而在非线性系统中,不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的.因此,线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全不同.
如果要具体检验一个实际非线性系统平衡状态的渐近稳定性,则仅用前述非线性系统的线性化模型之稳定性分析,即Lyapunov第一法是远远不够的,必须研究没有线性化的非线性系统.为此有如下几种基于Lyapunov第二法的方法可达成这一目的.如克拉索夫斯基方法,Schultz-Gibson变量梯度法,鲁里叶(Lure')法,以及波波夫方法等.下面仅讨论非线性系统稳定性分析的克拉索夫斯基方法.
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