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三分损益与十二律的相关物理
在声学中，声音的高低（如西洋音乐中的唱名Do、Re、Mi、Fa……）指的是与物体振动的频率。当我们取一简单物体用来定音高时（如竹管、丝弦），则它的频率与其长度是成反比的关系。如果物体的材质固定，长度愈长，声音愈低。
除此之外，当长度减为一半时，频率将变为原先的两倍；长度增成为原先的两倍时，频率成为原先的一半。我们将这种互为二倍数的特殊比例，定义为彼此互为“八度音”。所以“三分损”（长度变为原先的2/3）与“三分益”（长度变为原先的4/3），彼此之间正是一个“八度音”的关系（4/3 是 2/3 的两倍）。由此，我们便可以从九九八十一的长度出发，试算前述藉由“三分损益”求得的长度，所得到的十二律∶
黄钟∶81；
林钟（由黄钟三分损而来）∶81 * 2/3 = 54；
太簇（由林钟三分益而来）∶54 * 4/3 = 72；
南吕（由太簇三分损而来）∶72 * 2/3 = 48；
姑洗（由南吕三分益而来）∶48 * 4/3 = 64；
应钟（由姑洗三分损而来）∶64 * 2/3 = 42.6667；
蕤宾（由应钟三分益而来）∶42.6667 * 4/3 = 56.8889；
大吕（由蕤宾三分益而来）∶56.8889 * 4/3 = 75.8519；
夷则（由大吕三分损而来）∶75.8519 * 2/3 = 50.5679；
夹钟（由夷则三分益而来）∶50.5679 * 4/3 = 67.4239；
无射（由夹钟三分损而来）∶67.4239 * 2/3 = 44.9492；
仲吕（由无射三分益而来）∶44.9492 * 4/3 = 59.9323；
清黄钟（黄钟的高八度音，由仲吕三分损而来）∶59.9323 * 2/3 = 39.9549。
我们注意到最后一个“清黄钟”的长度39.9546，与直接取“黄钟”长度的一半 40.5 仍有一段小小的差距，这就是“黄钟不能还原”的问题。因为在连乘十二次 2/3 或 4/3 后，最后的值不可能达到原始的 1/2。...
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