极限思想在哪方面有应用?
极限思想是高中数学中的一种重要的数学思想,利用极限思想使人们能够从有限中认识无限,从近似中认识精确,从量变中认识质变成为可能。高中数学教材中有多处内容渗透了极限的思想和方法,如“球的体积和表面积”、“双曲线的渐近线”等,但是极限思想在实际教学中没有得到普遍的认可和推广,学生对这种思想方法相当陌生。对于某些数学问题,如果我们能够灵活运用极限思想求解,往往可以避开一些抽象复杂的运算,降低解题难度,还可以优化解题思路,收到事半功倍的效果。下面是笔者尝试将极限思想和方法渗透融合在解题教学中,实现方法与内容的整合。
一、寻求极限位置,实现估算与精算的结合
例1 过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与QF的长分别是p、q,则 等于( )。
(A)2a (B) (C) 4a (D)
图1
解析:本题是有关不变性的问题,常规解法是探求p、q、a的关系,过程繁琐,且计算较复杂。若能充分认识到变与不变的辨证关系,利用运动和变化的观点,借助于极限思想即取PQ的极限位置可使问题变得简便易行,如图1所示,将直线PQ绕点F顺时针方向旋转到与y轴重合,此时Q与O重合,点P运动到无穷远处,虽不能再称它为抛物线的弦了,它是弦的一种极限情形,因为 ,而 ,所以 ,故答案选C。针对客观选择题题型的特点,这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性,凸显了试题的选拔功能。
【评注】将精算与估算相结合,是一种重要的数学能力,有利于从不同层面对理性思维能力进行全面而又灵活的考查。因此,这类数学试题给高中数学教与学的方向以启示,注重多元联系表示,拓宽思维,提高思维含量。
二、考查极限图形,简化计算
例2 在正n棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是( )。
(A) (B) (C) (D)
解析:如图2所示,设正n棱锥为 ,由于n多变,所以底面正n边形、侧面出现不确定状态,这样导致直接分析求解将是繁难,甚至是“到而不达”的,若另辟蹊径,采用极限法,则解法将是简捷、易行的,其计算量得到极大的简化。
本例中底面正n边形固定,而棱锥的高不定,故可将顶点S看作是运动变化的,设相邻两侧面所成的二面角的平面角为 。当点S向下运动无限趋近底面正n边形的中心这个极限位置时, 趋于平角 ;当点S向上运动趋于无穷远时,侧棱将无限趋于与底面垂直,即正n棱锥趋近于正n棱柱,此时 无限趋于底面正n边形的内角 ,故二面角的取值范围是: ,从而答案选A。
【评注】“化静为动,以动制静”,利用运动和变化的观点,着眼于问题的极限状态,摈弃了繁琐的数学运算,使得所研究问题更加直观、明朗。因此,根据问题的不同条件和特点,合理选择运算途径是提高运算能力的关键,而灵活地利用极限思想就成为减少运算量的一条重要途径。
三、分析极限状态,探索解题思路
例3 已知抛物线方程为 。求证:在x轴正方向上必存在一点M,使得对于抛物线上任意一条过M的弦PQ均有 为定值。
分析:假设点M确实存在,因为过点M的任意一条弦PQ均有 为定值,因此对过点M的一条特殊弦——垂直于x轴的弦 也应该有 为定值。如图3所示,设 ,则 ,但是仅凭此式还看不出点M到底是哪个定点。下面再考查弦的一个极限情形——x轴的正半轴,它过点M,它的一个端点是原点O,另一个端点可以看成是无穷远处的极限点 (假想的点),它是弦的一种极限情形,显然有 ,所以 ,它也应该是定值,且 ,由此可得 ,于是可以猜想定点M(p,0),
下证过点M(p,0)的任一弦PQ均有 (定值)。
图3
证明:设过点M(p,0)的直线参数方程为 ,代入抛物线方程得 ,设此方程的两根为 ,则 ,而 的几何意义分别表示MP及MQ的值。
所以 。
因此点M(p,0)是满足题意的点。
【评注】通过分解有关对象在运动变化过程中的极限状态,提取信息、信息整合,从而寻求到合理的解决问题的途径,降低了解题难度,优化了解题过程,有效激活了创新思维,凸显了极限思想在解题中的独特功能及应用的广泛性。
四、巧取极限,实现无限与有限的统一
例4 设数列 满足
(1)当 时,求 ,并由此猜想出 的一个通项公式;
(2)当 时,证明对所有的 ,有
① ;② 。
解析:本题是数列与不等式的综合题,是考查猜想、归纳、迭代、放缩推理及分析问题和解决问题能力的一道优秀试题。(1)及(2)①入口宽,也易解决。但是(2)②的放缩难度较大,拉开了档次,体现了较好的区分度。事实上,(2)①的结论给解答(2)②有明确的启示。因为由 可以推导出 ( ),运用这个不等式来证明(2)②,思路最为清晰、快捷。这种要求,是考查考生进入高校继续学习的潜能所必须的。
(1) (略)。
(2)①用数学归纳法证明(略)。
②由(2)①可知 ,即 。
于是 。
。
【评注】本例利用了高等数学中的级数理论:正项级数 的前n项和有上界,故级数 收敛,但其收敛速度不大于 的收敛速度( )。其实从初等数学的观点也很容易理解:若单调递增数列 存在极限,则 。通过无限与有限的统一,实现了对不等式的放缩。
利用极限思想,把问题放置于极限状态,即活跃了思维,又提高了分析、解决问题的能力。因此,教师要有意识地强化用极限思想解题的意识,并在不断应用它解决问题的过程中,让学生真正体会到“提高观点,降低难度,减轻负担”的含义。自己去瞧瞧吧,,,,,我只能帮到这里了。。。。。...
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