如何理解混沌理论(混沌理论公式)

混沌理论简述

混沌，已成为具有严格定义的科学概念，成为一门新科学的名字.混沌，它揭示有序与无序的关系，确定性和随机性的统一，覆盖面广到包括自然科学与社会科学的几乎各个领域.

自然界现象遵循的原则可以看成是一部机器（见图6-1（a））.当我们向机器输入初始条件时，机器会产生一个输出，它告诉我们未来将是怎样的.如果说初始条件Ⅰ发生了很小的变化δ，当这部机器是个线性系统时，输出A只会发生很小的变化δA.我们熟知的牛顿力学方程组就是构成这部机器的核心，这样的动力学方程组确定了过去、现在和将来的关系.因果一一对应是这种机器的特征，这种动力学模型叫做确定性模型.我们在地球科学中遇到的绝大多数模型都属于这种确定性模型.这在科学上是一种传统的经典的模型.但是，自然界还存在着另一种模型：当输入初始条件发生很小变化δ_i（i=1，2，…，∞）时，机器的输出却发生显著的变化，输出的结果分别为A_i（i=1，2，…，∞）.在许多情况下，初始条件δ_i变化是如此之小，以至难于被测量所察觉.然而，一种奇怪现象发生了〔见图6-1（b）〕：一部确定性机器，可以输出许多不同的结果A_i.从有限的观测精度来看，这部机器的输入都是Ⅰ，但输出却是不同的A₁，A₂，…，A_∞，每个A_i的出现是以概率p_i这种统计形式显示出其规律性的.这种对初始条件极端敏感的动力学行为，叫做混沌（Chaos）.不难证明，产生混沌行为的机器的动力学方程组必须是非线性的.因此，混沌动力学是现代非线性理论研究的核心问题之一.在目前已知的绝大多数情况下，输出状态A_i的集合，是一种统计分形集合.

图6-1（a）传统的动力学——确定论；（b）非线性动力学——混沌

混沌概念在稳定的确定性的解和不稳定的确定性的解之间起着桥梁作用.混沌解必须从统计学上进行处理.混沌解在时间演化上以指数方式敏感于初值条件.一个确定解，当其在时间演化时，如果初值相差很少的两个解以指数方式发散，则定义为混沌解.在演化中解的可预测性仅有统计学意义.一个解是混沌的必要条件是支配方程是非线性方程.

混沌体系是一种行为不规则而且对初始条件高度敏感的体系.这种体系的行为又是决定论的，即可用数学方法（常常是很简单的方程）来描述.

混沌现象是非常有意思的，它使决定性系统看起来是非决定性的、杂乱无章的.其实不然，混沌的理论找到了从决定性到非决定性的解释.发现混沌的根源是系统的非线性，而不是外在的因素所致，这无疑是个非常重要的突破.

混沌理论的广泛适用范围和独特的数学手段，使它能够更加全面、准确地揭示和描述客观世界的属性及其复杂的规律性，无论对自然科学研究还是社会科学研究，均有重要的方法论意义.

混沌理论在一定程度上实现了系统行为确定性描述与随机性描述的沟通和统一.在方法论上，它把自然科学中长期存在着的系统行为的确定性和随机性二种不相容的描述体系，即确定性描述和随机性描述沟通起来.混沌理论揭示出，系统行为的随机性在一个确定论的发展过程中作为内在的必然行为而产生出来，这就使我们把系统行为的原因理解为确定性和随机性二种因素.这一事实说明，在描述系统混沌行为时，在一定程度上沟通和统一了确定性和概率论这二种不相容描述体系演化的方法，这是方法论体系的丰富和扩展.

混沌理论表明，混沌现象是系统演化传统概念的有序与无序的中介态.这种形态依赖于形态演化的内在规律性及系统与环境的相互作用，它不是固定不变的，而是系统运动过程中的一种暂态.这就给了我们这样的启示：由于系统行为中有序与无序的相对性以及系统演化为混沌的阶段性，我们要在普遍存在混沌的世界里掌握系统演化的这种机制，加以合理控制，从而有可能利用或避免混沌现象.

混沌理论已向我们展开了广阔的理论和应用前景.在理论上，它深化了人类对客观世界的观察与分析，大大丰富了我们对客观事物的认识，它丰富和发展了系统理论，这或许要影响乃至改变我们对若干问题的看法.在应用上，有可能在一定程度上实现对混沌现象的预测、控制和利用.

混沌有以下几个特性：

（1）随机性.体系处于混沌状态是由体系内部动力学随机性产生的不规则性行为，常称之为内随机性.例如，在一维非线性映射中，即使描述系统演化行为的数学模型中不包含任何外加的随机项，即使控制参数、初始值都是确定的，而系统在混沌区的行为仍表现为随机性.这种随机性自发地产生于系统内部，与外随机性有完全不同的来源与机制，显然是确定性系统内部一种内在随机性和机制作用.体系内的局部不稳定是内随机性的特点，也是对初值敏感性的原因所在.

（2）敏感性.系统的混沌运动，无论是离散的或连续的，低维的或高维的，保守的或耗散的，时间演化的还是空间分布的，均具有一个基本特征，即系统的运动轨道对初值的极度敏感性.这种敏感性，一方面反映出在非线性动力学系统内，随机性系统运动趋势的强烈影响；另一方面也将导致系统长期时间行为的不可预测性.气象学家洛仑兹（E.N.Lorenz）提出的所谓“蝴蝶效应”，就是对这种敏感性的突出而形象的说明.

（3）分维性.混沌具有分维性质，是指系统运动轨道在相空间的几何形态可以用分维来描述.例如，Koch雪花曲线的分维数是1.26；描述大气混沌的洛仑兹模型的分维数是2.06.体系的混沌运动在相空间无穷缠绕、折叠和扭结，构成具有无穷层次的自相似结构.

（4）普适性.当系统趋于混沌时，所表现出来的特征具有普适意义.其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化.这类系统都与费根鲍姆常数相联系.这是一个重要的普适常数δ=4.66920160910299097….

（5）标度律.混沌现象是一种无周期性的有序态，具有无穷层次的自相似结构，存在无标度区域.只要数值计算的精度或实验的分辨率足够高，则可以从中发现小尺寸混沌的有序运动花样，所以具有标度律性质.例如，在倍周期分叉过程中，混沌吸引子的无穷嵌套自相似结构，从层次关系上看，具有结构的自相似，具备标度变换下的结构不变性，从而表现出有序性.

混沌定义：令f（x）为区间I到自身的连续映射，如果满足下列条件：

（1）f的周期点的周期无上界.

（2）存在I的不可数子集S，满足

a.对于任何x，y∈S，当x≠y时有

b.对于任何x，y∈S，有

则称f（x）描述的系统为混沌系统，S为f的混沌集.

在日常生活里，洛伦兹所指出的对初始条件的敏感性比比皆是.如一个男人早上晚离家了30分钟，一个花瓶只有毫米之差险些打破他的头，随后他被一辆卡车撞倒.或者说，他没赶上每10分钟一趟的公共汽车，因而耽误了每一小时一趟的火车.一个人日常轨道中的小小扰动可能留下巨大的后果.

对初始条件的敏感性并非一个新概念，民谣中早已有之：缺掉一枚钉，坏了一支蹄铁；缺了一支蹄铁，跌翻了一匹马；翻了一匹马，死了一个骑马的武士；死了这位骑马武士，失去这场战争的胜利；失去了这个胜利，亡掉了这一个帝国！

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混沌究竟该如何理解？

简单来说，混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性—不可重复、不可预测，这就是混沌现象。

在现代科学的定义中，混沌的基本含义可以概括为：聚散有法，周行而不殆，回复而不闭。意思是说，混沌轨道的运动完全受规律支配，但相空间中轨道运动不对中止，在有限空间中永远运动着，既不相交也不闭合。混沌运动表现上是无序的，具有类随机性，也称内在随机性。

在非线性科学中，混沌也有着和本意相近但不完全一致的含义。非线性科学中的混沌现象指的是一种确定的但不可预测的运动状态。它的外在表现和纯粹的随即运动很相似，即不可预测。但和随即运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性来源于运动的不稳定性。

混沌系统具有三个关键要素：一是对初始条件的敏感依赖性；二是临界水平，这里是指非线性事件的发生点；三是分形维，它表明有序和无序的统一。

混沌现象有一个很著名的表述，那就是“蝴蝶效应”。洛仑兹在华盛顿的美国科学促进会的一次演讲中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯州引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓的“蝴蝶效应”之说就不胫而走，声名远扬了。

“蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不仅在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。

从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了混沌运动的一种重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。

经典动力学的传统观点认为：系统的长期行为对初始条件是不敏感的，即初始条件的微小变化对未来状态所造成的差别是很微小的。可混沌理论却是向传统观点提出了挑战。混沌理论认为在混沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断放大，其对未来状态会造成极其巨大的差别。

有一则西方寓言很好地解释了混沌理论的基本概念，即：

丢了一个钉子，坏了一只蹄铁；

坏了一只蹄铁，折了一匹战马；

折了一匹战马，伤了一位骑士；

伤了一位骑士，输了一场战斗；

输了一场战斗，亡了一个帝国；

本是初始条件的十分微小的变化，但其“长期”效应确实一个帝国存与亡的根本差别。这就是军事和领域中所谓的“蝴蝶效应”。

混沌系统通常是自反馈系统，出来的东西会回去经过变换再出来，循环往复，没完没了，任何初始值的微小差别都会按指数放大，因此，导致系统内在的不可长期预测。

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命运的混沌理论具体怎么解释的？？？

太通俗了有点对不起混沌理论,太艰深了有点对不起您。我觉得下面讲得可以看懂。 “相对论消除了关于绝对空间和时间的幻想;量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦;而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测的幻想。” 一点就是未来无法确定。如果你某一天确定了,那是你撞上了。第二事物的发展是通过自我相似的秩序来实现的。看见云彩,知道他是云彩,看见一座山,就知道是一座山,凭什么?就是自我相似。这是混沌理论两个基本的概念。混沌理论还有一个是发展人格,他有三个原则,一个是事物的发展总是向他阻力最小的方向运动。第二个原则当事物改变方向的时候,他存在一些结构。一混沌理论(Chaos theory)是一种兼具质性思考与量化分析的方法,用以探讨动态系统中(如:人口移动、化学反应、气象变化、社会行为等)无法用单一的数据关系,而必须用整体、连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。二混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态,我国及古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论,主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中,西方自然科学家经过长期的探讨,逐一发现众多自然界中的规律,如大家耳熟能详的地心引力、原理、相对论等。这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述,并可以依据此公式准确预测物体的行径。三近半世纪以来,科学家发现许多自然现象即使可化为单纯的数学公式,但是其行径却无法加以预测。如气象学家Edward Lorenz发现,简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化,产生所谓的「蝴蝶效应」,亦即某地下大雪,经追根究底却发现是受到几个月前远在异地的蝴蝶拍打翅膀产生气流所造成的。一九六○年代,美国数学家Stephen Smale 发现,某些物体的行径经过某种规则性的变化之后,随后的发展并无一定的轨迹可寻,呈现失序的混沌状态。四混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一阶段的运动状态,而产生无法预测的随机效果。所谓「差之毫厘,失之千里」正是此一现象的最佳批注。具体而言,混沌现象发生于易变动的物体或系统,该物体在行动之初极为单纯,但经过一定规则的连续变动之后,却产生始料所未及的后果,也就是混沌状态。但是此种混沌状态不同于一般杂乱无章的的混乱状况,此一混沌现象经过长期及完整分析之后,可以从中理出某种规则出来。混沌现象虽然最先用于解释自然界,但是在人文及社会领域中因为事物之间相互牵引,混沌现象尤为多见。如股票市场的起伏、人生的平坦曲折、教育的复杂过程。五混沌理论在教育行政、课程与教学、教育研究、教育测验等方面已经有些许应用的例子。由于教育的对象是人,人是随时变动起伏的个体,而教育的过程基本上依循一定的准则,并历经长期的互动,因此,相当符合混沌理论的架构。也因此,依据混沌理论,教育系统容易产生无法预期的结果。此一结果可能是正面的,也有可能是负面的。不论是正面或是负面的,重要的是,教育的成效或教育的研究除了短期的观察之外,更应该累积长期数据,从中分析出可能的脉络出来,以增加教育效果的可预测性,并运用其扩大教育效果。...

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混沌理论的现实意义

混沌的发现揭示了我们对规律与由此产生的行为之间－－即原因与结果之间－－关系的一个基本性的错误认识。我们过去认为，确定性的原因必定产生规则的结果，但现在我们知道了，它们可以产生易被误解为随机性的极不规则的结果。我们过去认为，简单的原因必定产生简单的结果(这意昧着复杂的结果必然有复杂的原因)，但现在我们知道了，简单的原因可以产生复杂的结果。我们认识到，知道这些规律不等于能够预言未来的行为。
这一思想已被一群数学家和物理学家，其中包括威廉·迪托 (William Ditto)、艾伦·加芬科(Alan Garfinkel)和吉姆·约克 (Jim Yorke)，变成了一项非常有用的实用技术，他们称之为混沌控制。实质上，这一思想就是使蝴蝶效应为你所用。初始条件的小变化产生随后行为的大变化，这可以是一个优点；你必须做的一切，是确保得到你想要的大变化。对混沌动力学如何运作的认识，使我们有可能设计出能完全实现这一要求的控制方案。这个方法已取得若干成功。混沌控制的最早成就之一，是仅用卫星上遗留的极少量肼使一颗“死”卫星改变轨道，而与一颗小行星相碰撞。美国国家航空与航天管理局操纵这颗卫星围绕月球旋转5圈，每一圈用射出的少许肼将卫星轻推一下，最后实现碰撞。
混沌理论的特征在证券市场中也存在。周K线图看上去与日K线图、小时K线图、5分钟K线图的形状十分相似，这就是证券市场价格的分形特征，我们可以应用5分钟K线图或者小时K线图来推断日K线图或周K线图的形状，为投资决策服务。

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混沌学说是什么

混沌理论：是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。
“相对论消除了关于绝对空间和时间的幻想；量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测的幻想。”
一点就是未来无法确定。如果你某一天确定了，那是你撞上了。
第二事物的发展是通过自我相似的秩序来实现的。看见云彩，知道他是云彩，看见一座山，就知道是一座山，凭什么？就是自我相似。这是混沌理论两个基本的概念。
混沌理论还有一个是发展人格，他有三个原则，一个是事物的发展总是向他阻力最小的方向运动。第二个原则当事物改变方向的时候，他存在一些结构。
一混沌理论（Chaos theory）是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中（如：人口移动、化学反应、气象变化、社会行为等）无法用单一的数据关系，而必须用整体、连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。
二混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，我国及古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家耳熟能详的地心引力、原理、相对论等。这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。
三近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可化为单纯的数学公式，但是其行径却无法加以预测。如气象学家Edward Lorenz发现，简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生所谓的「蝴蝶效应」，亦即某地下大雪，经追根究底却发现是受到几个月前远在异地的蝴蝶拍打翅膀产生气流所造成的。一九六○年代，美国数学家Stephen Smale 发现，某些物体的行径经过某种规则性的变化之后，随后的发展并无一定的轨迹可寻，呈现失序的混沌状态。
四混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一阶段的运动状态，而产生无法预测的随机效果。所谓「差之毫厘，失之千里」正是此一现象的最佳批注。具体而言，混沌现象发生于易变动的物体或系统，该物体在行动之初极为单纯，但经过一定规则的连续变动之后，却产生始料所未及的后果，也就是混沌状态。但是此种混沌状态不同于一般杂乱无章的的混乱状况，此一混沌现象经过长期及完整分析之后，可以从中理出某种规则出来。混沌现象虽然最先用于解释自然界，但是在人文及社会领域中因为事物之间相互牵引，混沌现象尤为多见。如股票市场的起伏、人生的平坦曲折、教育的复杂过程。
五混沌理论在教育行政、课程与教学、教育研究、教育测验等方面已经有些许应用的例子。由于教育的对象是人，人是随时变动起伏的个体，而教育的过程基本上依循一定的准则，并历经长期的互动，因此，相当符合混沌理论的架构。也因此，依据混沌理论，教育系统容易产生无法预期的结果。此一结果可能是正面的，也有可能是负面的。不论是正面或是负面的，重要的是，教育的成效或教育的研究除了短期的观察之外，更应该累积长期数据，从中分析出可能的脉络出来，以增加教育效果的可预测性，并运用其扩大教育效果。
六过去决策基础的三个主要假定和三个新的现实
根据混沌理论，格拉斯提出，过去作为决策基础的三个主要假定已经不再成立。这些假定是：
假定1：企业是一个“说到做到”的封闭系统。外界对企业决定采取的行动没有多大干扰。
假定2：经营环境是稳定的。管理者能够充分把握经营环境，从而制定出详尽具体的战略。
假定3：管理者对事件的因果关系有着足够的认识。他们能够顺藤摸瓜，找出每一事件将会导致的变化。
在格拉斯看来，这些旧的假定已经被三个新的现实所代替：
现实1：企业是复杂的“开放”系统，既影响着其所处的环境，又在很大程度上受环境的影响。这意味着，企业的行动可能无法达到它所预期的结果。
现实2：环境是瞬息万变的（不断创造着机会和威胁）。高层管理者不能指望制定出在付诸实施时仍完全有效的详尽战略。
现实3：作为传统决策理论基础的简单线性因果关系模型已经失灵。因此，各种事件的后果是无法预料的...

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什么是混沌学？

众所周知，混沌，量子力学，相对论是现代科学的基本理论的三大支柱。与相对论和量子力学研究起点一致的是，混沌学是从改变经典力学开始的：经典力学是拉普拉斯的决定论;只要给定初始条件，就可计算出下一时刻的整个世界；而混沌学告诉我们即使遵循牛顿力学的，通常尺度下的完全决定论的系统，但由于运动对于初值的敏感性，我们也可以得到随机结果；换句话就是确定性的规律中得到不确定结果，最形象的就是海岸边上的蝴蝶扇动翅膀导致龙卷风的童话故事。如果说量子力学的测不准原理揭示了微观世界的不可预测性，那么混沌学彻底宣告了经典力学的决定论哲学的失败。本书通过三个物理例子简要阐述了混沌学;从牛顿力学的限制性三体问题到19世纪末庞加莱创立的利用拓扑学定性研究微分方程（P69：李雅诺普理论：动力学系统混沌的充分必要条件就是它有足够多的具有正李雅诺普夫指数的有界轨道，使得它们在相空间中的维数大于一）；从经典动力系统中吸引子理论（不动点，极限环，面包圈（准周期）到混沌学的建立标志典型例子之一的1963年洛伦茨用数值方法研究大气热对流模型时发现的的奇异吸引子（P44;吸引子类似蝴蝶样子同时也就是书名的《蝴蝶效应之谜》的原因)；甚至从高中学过的线性近似条件下的计时工具的单摆实验到非线性单摆实验的演变条件，书中利用图形完备展示了有序到混沌的理论的本质,P115）。其实关于混沌的历史：早在一百多前，波尔兹曼推导他的著名的H定理，就曾经提出分子混沌假设，但是那时候“混沌”的意义仅仅是与宏观系统统计相关的无序特征。关于相对论和量子力学的教科书及科普书汗牛充栋，而介绍混沌的，则显的小众化了，不仅是混沌学建立的时间较晚，更是因为混沌学对于数学和计算机要求较高。不同于其他科普书排斥数学公式，本书最小的程度的使用公式并辅助图形揭示了混沌的本质:分形中的曼德勃罗集（非线性迭代公式P26，分形是混沌的几何形式），气象学中著名的洛伦茨微分方程组（P41),对于迭代方程添加的非线性项修正的生态学逻辑斯蒂方程（P60）等等，这样引导初学者顺利进入混沌学的数学思考。如果说相对论和量子力学是研究者必须理解的理论，那么混沌学在大多数时候，就与我们所有人的日常生活密切相关的，例如经济政策中宏观调控的原理，或者通讯中的CDMA的基本原理，甚至你为什么是穷人，都可以在混沌理论找到答案（本书第五章），其实自然界的现象多是非线性理论，我们只有通过了物理问题的非线性理论（KAM定理）才可以找到线性理论（哈密尔顿可积系统）的限度。所以，一本介绍和普及混沌学的书对于大众就非常的迫切了。不同于讲解混沌的教材的枯燥古板，也不同与其他同类科普书的天马星空和不着边际，这本由理论物理博士张天蓉写的书兼具专业化的精神和科普的趣味不仅讲解了混沌学的始末，而且达到了授人以渔的效果。当拿到书的时候，我正好要外出，由于行李太重，不想携带本书的，但是翻着翻着才发现它太粘人人，不仅让我拿着它在出租车读，甚至在长途火车上借着手机的灯光读，竟然花了一天，通读了一遍，有点找回过去读武侠小说的感觉。书中的物理知识让人受益匪浅，即使是现在，书放在手边，没事的时候，随手翻看，有一种常读常新的感觉。数学家serge lang曾经说：数学的学习从来不是一页一页读下来的。...

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